La idea del teorema de inversión es que dado una función f, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la función original, en símbolos:
Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es válido, porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una función integrable no es necesariamente integrable. Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un camino más directo para formular un enunciado: TEOREMA: El espacio de funciones complejas f definidas en la recta tales que f y la transformada de Fourier de f sean integrables, es invariante tanto por la transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Además para una función f en este espacio, vale el teorema de inversión (1). Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.